第二十四章 測度論

　　“長度是什麽？面積是什麽？體積是什麽？”
　　這個意料之外的問題讓奧流楞了壹會兒。他沒有想到王崎會問這種問題。思考片刻之後，他張口道：“長度是……”
　　話到嘴邊又說不出口了。
　　何謂長？
　　這個問題，恐怕每壹個人都知道。就算是剛剛開靈的新生妖族或者小孩子，都能有咿咿呀呀的比劃大小、長短等諸多概念。
　　但是，越是簡單的概念，反而越難以敘述。因為在絕大部分人心中，“長度”這個概念已經夠基礎的了。要他們用更加基礎的概念去表述這樣壹個概念……
　　真的很難呀。
　　看到他的樣子，王崎微微有些好笑，但仍是壹本正經地說道：“既然妳無法回答這個問題，那就簡單點好了。就問妳，長度是什麽？”
　　奧流已經說不出什麽“別小瞧妖”之類的話了。
　　他很認真的思考問題，最後小心翼翼的說出了結論：“兩點之間的距離……”
　　“呵呵。”王崎付之壹笑。
　　奧流有些被激怒。他站起來，道：“這種不言自明的道理，又有誰會不明白？既然人人都明白，那又為何要研究它？要我說，妳等人族已經走入執念障了，只盯著自己那壹畝三分地，卻看不到廣闊天空。”
　　“不言自明？”王崎的語氣當中充滿調侃的意味。他手腳並用翻下講桌，在空中扯了個筋鬥，落在奧流的課桌前，直直的盯著奧流。他笑容有些陰森：“小子，我得告訴妳，沒有什麽是不言自明的。所謂的‘不言自明’，只不過是妳的腦子、妳的魂魄、妳的智慧給妳的壹種錯覺，壹種幻象。”
　　“這種幻覺的名字，就叫‘我生而知之’，或者‘我很聰明’‘我心近道’。”
　　王崎又站了起來：“或許後天獲得的靈智，讓妳們有了壹種‘有靈智方才出生’的感覺吧。這種感情，我們還真不能體會。對於我們人族來說，‘靈慧’真的是稀松平常。所以，我們才會覺得靈慧其實也沒有那麽偉大——至少我們人族這種層次的智慧沒有那麽偉大。我們所知曉的壹切，其實都是智慧給自己設下的枷鎖。”
　　“只有認清執念，才能破除執念。只有知曉天空的渺小，才能夠計算星海的浩瀚。”
　　奧流皺眉：“坐而論道嗎？說得好聽罷了。”
　　他心中其實是有壹些竊喜的。這種觀念之爭、理念之爭可以說上很久，最終有可能變成誰都沒辦法說服誰的局面。若是進入這樣的局面，他倒是有機會抹除剛才的尷尬壹幕。
　　可惜，王崎是不會給他這種機會的。
　　世界終究是客觀的。真就是真，偽就是偽。
　　王崎身子向後壹翻，像是要倒在地上。下壹秒，他就在講臺上站好。他道：“方才妳提到了‘四個條件’支撐起的壹套幾何，想必也是知曉‘第五個條件’吧？”
　　奧流點點頭：“不絕對。”
　　“能夠將畫天法稱之為‘條件’，妳們更新妖族也是有壹些智慧的。可惜啊……”王崎搖搖頭，也不知是可惜更新妖族沒有更深入，還是在可惜某個後輩學藝不精。他道：“既然妳們知曉這被我們人族稱之為畫天法的公設，那也應該知曉點線面的定義咯？”
　　奧流點點頭。這種不言自明的問題，他們確實是知曉的。
　　“線是無數點的總和，對吧？”
　　奧流再次點點頭。
　　王崎繼續問道：“那麽妳們有沒有想過，點是沒有長度的。或者說，點的長度是零。線是由無數點構成的，那麽，線又是從哪裏來的長度呢？”
　　“唔……”這個問題，讓所有的學生都楞了壹下。
　　包括月落琉璃和白弦素錚這兩個龍族在內，所有人都是壹楞。
　　——這個……還真沒有人想過！
　　王崎看著底下那群學生的表情，終於是滿意的點了點頭。
　　——小樣兒，我還治不了妳們了？
　　——我告訴妳們，我這裏看起來簡單，但是難得要死的問題是要多少有多少。
　　王崎剛才問出的問題，其實就是“測度論”當中的重要部分。而它的解答，在地球被稱作“勒貝格積分”。在這個世界，它作為離宗的經典，由歌庭派完成。
　　盡管這只是算主輝煌人生的壹個小小註腳，但是大多數人都知曉，若是有萬法門弟子吃透了這個，那麽升到煉虛期都不會有什麽障礙。
　　沒有接觸過主流數學的天才人物需要多久才能徹底想明白這個問題呢？
　　格羅滕迪克高中時期花了三年。
　　“想要解釋這個問題，就得先從集合論談起了。”王崎說著，開始講解集合裏面最初的內容。集合、淄即、元素、並集、交集、補集等等。
　　這些內容全部都是面向普通高中生的。大約三五節課，地球上的普通高中生就能夠掌握這方面的內容。而王崎現在的這些學生起碼都是化形期的高階妖族，記憶力更加強大，他只花了壹個小時，就保證讓他們掌握了那些集合的基本概念。
　　當然，也真的只是基本概念而已。
　　“接下來，我們可以引入壹些更加復雜的概念，比如說‘無窮大’。‘無窮大’這個概念也很復雜。我知道，在算學之外，這個概念也被壹些人討論。或許妳們當中有壹些人就思考過這樣的問題——什麽叫無窮大。而現在，丟掉妳們腦子當中那些玄之又玄的定義。在算學裏，無窮只有已知的兩種。可數無窮和不可數無窮。所有整數的集合便被稱為‘可數無窮’。不可數無窮比可數無窮更大，不存在比可數無窮更小的無窮……”
　　“所有實數的集合就是壹個不可數無窮。而所有與‘所有實數的集合’等勢的集合，就被稱作‘連續統’。”講話到這裏，王崎笑了壹下：“順便壹提，這個系統裏面有相當壹部分東西就是我證明的。換言之，這是我悟出來的東西。這壹點必須強調壹下。”
　　奧流臉色鐵青。
　　“我本人和‘連續統假設’的故事，有空再講給妳們聽。總而言之，妳們知道這麽個概念就行了。若要問‘可數無窮’和‘不可數無窮’之間的區別，那就簡單說壹下吧——這或許就是無大小的點到線與面之間的奧妙。”
　　“現在回到主題。我們通常所說的長度面積體積這些詞，究竟是什麽意思？”王崎雙手撐在講桌上：“為了更清楚的闡明這個主題，讓我們把目光只集中在最簡單的壹維情形，也就是說，我們只考慮‘長度’這個詞。我們希望，取出直線上的壹部分，就有壹個‘長度’存在。如果能做到這壹點，那麽類似的，面積和體積之類的字眼也可以類似的得以理解。”
　　“首先，我們可以做出這樣的定義。壹個直線，就是壹個巨大的點集。”
　　“這個點集的每壹個子集，包括它自身，都存在‘勢’。這個勢就是壹個測度。”
　　“兩個彼此本身不相交的子集的並集——也就是這個大點集的另壹個子集，也有測度並且這個測度應該等於兩者之和。簡單來說，兩個不相交不重疊的線段的總長度，就可以視作是它們各自長度的總和。”
　　“更進壹步，三個不相交子集的測度之和也應該等於這三個子集並起來的集合的測度，四個也好，五個也好，依此類推，無窮個不相交子集的測度之和也應該等於把它們並起來得到的集合的測度。”
　　說到這裏，王崎鄭重地說道：“接下來，我們就可以做出最終的定義了。”
　　“壹，空集對應的測度是零。二，若幹個彼此不相交的子集，它們並在壹起得到的子集的測度，剛好等於這些子集各自測度之和。三，如果把直線看作實數軸，那麽從數軸上子點到醜點的線段對應的測度應當等於醜減去子。”
　　接著，王崎閉上眼睛，表情肅穆。
　　“就是人們通常所說的‘長度’的嚴密定義，而且是唯壹正確的定義。”
　　當然，這句話略有些誇張。王崎剛才講述的勒貝格測度【在這個世界，它被喚作“歌庭測度”】，只是測度當中的壹種。事實上，這個世界也會存在其他測度體系。數學上也承認不同於這種測度的其他測度。
　　比如，地球物理學當中會涉及的另壹種測度，狄拉克測度【本世界也喚作“無量測度”】
　　這就讓很多數學家相信，實際上還有更加具有普遍性的測度，只是人類還沒有理解到那壹步。
　　但是，就現階段來說，“長度”這個詞得到了嚴格的定義，人類對算學的認知也到了更深的層次。
　　有那麽壹瞬間，奧流真的被震懾到了。他驚嘆於這種嚴密的智慧。但是他依舊問道：“這有什麽用呢？這不過是在玩文字遊戲。這種遊戲，我可以玩上壹天……”
　　“是啊，有什麽用呢。”身形壹閃，王崎再壹次出現在奧流的面前：“這個定義，恰好能讓妳意識到自身的渺小啊。”